Материал из конспекта:
Платонизм — цель, к которой стремится математика и наука вообще — истина, математика — открытие истины (Фрейде). Бишоп — всякое математическое утверждение в конечном счёте выражает тот факт, что если мы выполним вычисление в множестве положительных чисел, мы получим положительный результат, т.е. смысл утверждения — поредура вычисления на множестве положительных чисел.
В классической математике истина относится к сверхчувственному миру идей.
Конструктивная математика — абстрактная наука о конструктивных процессах, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах — конструктивных объектах.
Вопрос о том, считать ли конструктивными объектами некие идеальные сущности или материальные оъекты, без разницы. Ж. П, Шанже — математические объекты есть объекты разума, существующие исключительно в разуме самих математиков, а важным свойством этих объектов является лишь одно — мы можем передать эти объекты друг другу во всех деталях.
Конструктивизм понимает математику не как процесс открытия истины, а как процесс изобретения, конструирования (Ж. П. Шанже). Э. Бишоп утверждал, что не стоит спрашивать о том, является ли какое-либо утверждение истинным до того, как понятен его смысл (смысл по Бишопу — выполнение вычисления на множестве натуральных чисел). Д. Кнут объявляет вопрос о том, что алгоритмизируемо, главным философским вопросом, ибо с позиций конструктивизма он эквивалентен вопросу «что истинно». По Канту в каждой науке науки столько, сколько в ней математики. Кнут говорит, что по сути мы можем утверждать, что мы что-то познали лишь в той мере, в какой мы можем это знание передать компьютеру.
Х. Дрейфус — пример с ездой на велосипеде. В принципе мы можем написать уравнение, описывающее езду на велосипеде. Но человек не только не знает физического уравнения, он даже вряд-ли руководствуется эвристическим правилом, он опирается на телесные ощущения, часто на неосознанном уровне. Не всё знание можно записать в виде инструкции.
Если мы понимаем смысл утверждения через процедуру вычислений, тогда у нас открывается прямой логический выход на гипотезу физической символьной системы, т.е. бывает ИИ. Доказательство по Бишопу — всякое убедительное рассуждение, а математика — аппеляция к здравому смыслу. Получается переход к позиции Минского, согласно которому в процессе обучения математики не стоит уделять внимание формальным системам, а стоит сосредоточить внимание на совокупности моделей, которые обеспечивают вычислительные процедуры. Аристотель — логика — инструмент мышления. Д. Кнут — инструмент мышления есть язык, математика и информатика.
