Результаты Курта Гёделя в свете проблем информатики: он доказал 2 теоремы, которые разрушили программу финитизма в основании математики, пропагандируемую Гильбертом. Сие есть одно из самых фундаментальных открытий науки 20-го столетия. Некоторые авторы - результаты свидетельствуют о невозможности ИИ, и об ограниченности формальных методов науки.
Первая теорема Гёделя о неполноте
Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), существует такая замкнутая формула F, что ни F, ни !F не являются выводимыми в этой теории.
Иначе говоря, в любой достаточно сложной непротиворечивой теории существует утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Например, такое утверждение можно добавить к системе аксиом, оставив её непротиворечивой. При этом, для новой теории (с увеличенным количеством аксиом) также будет существовать недоказуемое и неопровержимое утверждение.
Вторая теорема Гёделя о неполноте
Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), формула, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.
Иными словами, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т.д.
Караваев — теорему Гёделя трактуют как результат, ограничивающий возможости человеческого познания вообще, но это не так — теорема Гёделя свидетельствует об открытости мира для нашего познания — если мы возьмём недоказуемую формулу и прибавим её к набору аксиом, получим новую теорию.
Цилищев — математик никогда не имеет дела в своей реальной работе с бесконечным количеством утверждений, поэтому беспокоиться о противоречивости некоторой системы в общем-то не требуется. Ему не надо думать о том, что где-то на бесконечном наборе высказываний ему может встретиться противоречие, ему надо, чтобы тот фрагмент знания, с которым он работает, был непротиворечив. Так же и компьютер — он не будет порождать бесконечное.
Каждая формализация сама порождает прецедент, входящий в идеальное множество, но не подходящий под нее саму. Более того, таким свойством обладает и каждая вычислимая последовательность формализаций. Любая непротиворечивая теория сама помогает построить пример неразрешимого в ней истинного утверждения. (c) Непейвода
