ОСНОВНОЙ ВОПРОС ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
1. ОВФМ – это вопрос, что такое число? Существует масса различных мнений на этот счет. Достижением философской мысли считается способность критически относиться к сложившимся представлениям и аргументировать мысль, что мы не способны дать удовлетворительный ответ на ОВФМ.
2. Напомним, наиболее впечатляющая попытка выяснить природу чисел была предпринята в рамках канторовской теории множеств (ТМ), где числа рассматривались как свойства множеств (свойства совокупностей совокупностей). Это позволяло ввести сугубо логическую версию количественного числа, которая, однако, пасовала перед присущим «миру чисел» порядком, образующим некоторую устойчивую структуру (вполне упорядоченность). Кантор предположил, что этот порядок сродни «естественному свету разума», в соответствие с которым мощность множества-степени является единственным и естественным последователем мощности самого исходного (бесконечного) множества. Принятие этой гипотезы оборачивалось постулированием вполне упорядочения для произвольных множеств (Цорн) и провоцировало критические атаки на саму идею абстрактного множества, уязвимость которой к тому же была высвечена антиномиями ТМ (парадоксы Кантора и Рассела). Результатом этого стало появление наряду с множествами особых сущностей – классов, а затем и полумножеств [1], давших повод говорить о возможности альтернативных математик.
3. Оценивая сложившуюся ситуацию, современные исследователи вынуждены признать, что ТМ-математика не должна претендовать на то чтобы объяснить непосвященному, что такое число и почему чисел м.б. бесконечно много; она лишь позволяет уточнить, выразить неким стандартизированным образом исходные интуитивные идеи и образы количественной определенности. И хотя арифметика натуральных чисел трактуется как базис математической достоверности [2], это вовсе не снимает проблематики ОВФМ.
4. Логическую несостоятельность попыток Кантора-Фреге-Рассела решить проблему числа чутко подметил Пуанкаре, указав, что все ТМ и логицистские версии числа порочны в силу petitio principia [3]. Удивительно, однако, что многие математики не подозревают об этом и студентам матфаков некритически излагают цермелловскую или фон-неймановскую концепцию числа, согласно которой сначала вводится Ø, затем множество, единственным элементом которого «оказывается» (надо же такому случиться!) это самое Ø, затем {Ø,{Ø}}… и т.д. Но что такое множество с единственным элементом как не закомуфлированное выражение «1»? Если это не так, то ТМ должна была бы прежде объяснить, в чем кардинальная разница между пустым множеством элементов и пустым подмножеством элементов, какова логическая природа этого различия?1
5. Нынешняя философия математики извлекла определенный урок из неудач своих предшественников. Прямые вопросы о числе сменились косвенными: к какому типу сущего может относиться число? Являются ли числа объектами (абстрактными) или их правильнее считать структурами? Несомненно, можно привести аргументы в пользу каждой из этих версий [4]. Но облегчает ли это решение исходной проблемы? На наш взгляд, не очень.
6. Поскольку количественная и порядковая интуиции, сливающиеся в образе натурального числа, настолько глубоко вошли в ткань нашего познавательного инструментария, что даже кванторная логика не свободна от ее влияния, постольку средством, пригодным для осуществления теоретической реконструкции идеи числа (экспликации интуиции) может служить лишь очень слабая система.
Слабая система - это прежде всего система, не содержащая сильных экзистенциальных принципов, таких, например, как принцип наименьшего числа или принцип фундаментальности [5]. Но слабыми являются и такие теоретические системы, основания которых не являются строгими, содержат элемент неопределенности, апеллируют к интуиции и т.п. Генезис количественной и порядковой определенности, заключенной в идее числа, в этом случае может быть увязан с элиминацией (полной или частичной) подобной неопределенности.
7. Наиболее нетерпимое положение вызывает неопределенность в основаниях математики. Здесь она проявляется в виде логических и ТМ-антиномий. Мы полагаем, что разрешение парадоксов логики и ТМ и реконструкция идеи числа – это одна и та же задача. Ее решение сводится к построению особой теории парадоксов (ТП), в рамках которой последовательно разрешая антиномии Бурали-Форти, Ришара, Кантора, Рассела и Лжеца, можно реконструировать все те определенности, которые реализованы в образе N. Более обстоятельно эти сюжеты обсуждаются в [6].
Примечания
Очевидно, что проводя разницу между множеством без элементов и подмножеством без элементов, мы руководствуемся мыслью, что подмножество – часть множества. Поэтому, если часть пуста, то целое может не быть пустым. Но тогда каким образом нечто (совокупность), ничего не содержащее, имеет часть? Похоже, не так легко входит в ткань ТМ, как это обычно представляют.
1. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств.- М.,1983.
2 Перминов В.Я Развитие представлений о надежности математического доказательства.- М.,1986
3. Пуанкаре А. Математика и логика // О науке.- М.,1983. С.372-378.
4. Целищев В.В. Онтология математики. Объекты и структуры.- Новосибирск, 2003.
5. Подниекс К.М. Вокруг теоремы Геделя.- Рига,1981. С.46.
6. Черепанов С.К. Философия неопределенности: неопределенность и парадоксы.- Новосибирск,2004.
