Истины математики как истины разума. Основные тезисы логицизма в философии математики

Здесь математика обосновывается как производная от логики.
Существование математических объектов показывается только как мысленное существование. Это не объективный идеализм (ОИ), где мат.предм - умственный характер. Согласно логицизму, математический объект существует в нашем мышлении, т.к. мы мыслим.

Формальная логика - наука о формах мысли (имеет дело с формальным элементом мышления).

Два момента:
1) форма мысли отличается от созерцания.

а) понятие (элементарная форма мысли - предмет в общем),
б) суждение (связь больше двух понятий),
в) умозаключение (связь суждений через общее понятие, результат - новое
понятие);

2) абстракция от конкретного исполнителя актов мышления (если кто-то мыслит, то мыслит так всегда, именно в таких рамках).

Логика не зависти от человечества как такового (т.е.марсиане будут мыслить аналогично). Но здесь важно, что формы мысли касаются только конечного мышления. О бесконечном мы можем только догадываться.

В истории философии существует 4 способа соотношения математики и логики:
1) математика - часть логики,
2) логика - часть, следствие математики (обр.случай),
3) математика и логика имеют некоторую общую пранауку, из которой они произошли, а потом разошлись,
4) математика и логика совершенно разные, никак не связанные.

Лейбниц: "Математика - интеллектуальное познание; принцип математики - принцип противоречия".
Пирс: "Математика - производство необходимых умозаключений".
Гуссерль: "Математика и логика - царства объективных истин".

Тезис логицизма: "математические объекты могут вводиться только на основании тезиса о непротиворечивости, т.е. математический объект может быть признан существующим, если он мыслим непротиворечивым образом.
Логика обосновывает математику; способ обоснования - дедуктивная логика."

Рассел: "Логика - юность математики, а математика - зрелость логики".

Математика может быть обоснована логикой.
Техника обоснования математики: идея редукции сведения математики и логики, т.е. представление всех мат. понятий и операций в качестве логических, и обоснование аксиом математики, как теорем логики. Не все операции или понятия должны быть связаны, а должны быть выделены основные понятия и операции и представлены логически - это аксиоматическое представление математики.

Нужно найти один функциональный раздел математики, через который можно вывести все остальные разделы. Этот раздел - арифметика. Три этапа построения математики:
1. арифметизация математики,
2. аксиоматизация арифметики,
3. логическая интерпретация аксиоматизированной арифметики.

1. Арифметизация математики (АМ).
АМ не имела отношения к формальной логике. АМ означает, что можно все понятия и операции к числу, а все числа - к натуральному. Сначала рациональные числа можно свести к натуральному, а затем иррациональные можно редуцировать.

2. Аксиоматизация арифметики.
Задача: натуральный ряд вывести, указав заранее правила перехода из простейших элементов всю совокупность целых чисел. 3 основных понятия: "натуральное число", "следование за…", "начальный член натурального ряда".

5 аксиом Пеано:
а) "1" есть натуральное число;
б) следующее за натуральным числом есть натуральное число;
в) "1" не следует ни за каким натуральным числом;
г) если натуральное число В следует ща натуральным числом А и за натуральным числом С, то А==С (тождественны);
д) если какое-либо предложение доказано для "1", и если из допущения что оно верно для натурального числа N вытекает, что оно верно и для следующего за N натурального числа, то это предложение верно для любого натурального числа.

3. Логическая интерпретация аксиоматизированной арифметики.
Создание логического аппарата и логическая интерпретация математики в терминах логики.
Буль - создатель аппарата.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License