21. Проблема существования в математике

Эта проблема возникает из осознания невозможности сведения абстрактных математических объектов к единичным чувственно воспринимаемым вещам. Если математические объекты существуют не так, как единичные вещи, то о каком их существовании может идти речь? В каком смысле, например, существуют , n-мерные и бесконечномерные пространства и т. д.

Еще древние пифагорейцы: Числа, где они? Отделенные пространством, обитают ли они сами по себе в небе идей? Они не суть непосредственно сами вещи, так как вещь, субстанция есть ведь нечто другое, чем число, - тело не имеет никакого сходства с последним".

Представление о самостоятельном существовании математических объектов приводит к ряду трудностей как гносеологического, так и логико-математического характера. Математик как бы оказывается между двумя реальностями - чувственно воспринимаемых вещей и математических объектов. Причем как математик он имеет дело лишь со "второй реальностью", а с чувственно воспринимаемой действительностью соприкасается лишь постольку, поскольку выступает уже просто как человек, который должен пить, есть, отдыхать и т. д.

Г.Герц: "Невозможно избавиться от ощущения, что эти мат формулы существуют независимо от нас и обладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было"

Колмогоров в "Современные споры о природе М и Г.Вейль в "О Ф М": именно такая привычка обращаться с мат объектами является источником серьезных затруднений в обосновании и построении мат теорий. Совсем не случайно поэтому появление интуиционистской точки зрения на проблему существования.

Интуиционизм возник как реакция на теоретико-множественную (классическую) концепцию математики. Ин-изм отказывает математическим объектам в каком бы то ни было независимом от мышления существовании и считает, что об их существовании можно утвердительно говорить лишь в том случае, когда они могут быть тем или иным способом построены.

Инт-изм избрал главным объектом критики в классической математике понятие актуальной бесконечности и закон исключенного третьего. Отвергая понятие актуальной бесконечности, инт-изм заменяет понятием потенциальной бесконечности. Что же касается закона исключенного третьего, согласно которому утверждение А и его отрицание не могут быть одновременно истинными и ложными, то инт-изм считает, что утверждение А? может считаться доказанным лишь тогда, когда указан метод, позволяющий выяснить, какое именно из двух суждений А или истинно.


На основе критики классической математики и в то же время как реакция на субъективистскую концепцию интуиционизма возникло также конструктивное направление. Об абстрактных объектах в конструктивной математике рассуждают на основе абстракции потенциальной осуществимости. В соответствии с этой абстракцией в конструктивной математике изучаются не только объекты, уже имеющиеся в наличии, но и возможные (потенциально осуществляемые) объекты. Абстракция актуальной бесконечности как объект математической теории отклоняется в конструктивном направлении.

В конструктивной математике отрицают так называемые «чистые» теоремы существования. Например, в конструктивной теории множеств нет теоремы существования неизмеримого по Лебегу множества. В ней существование бесконечного множества с данными свойствами является однозначным в том случае, если дан способ потенциально осуществимого построения объекта с этими свойствами.

В становлении и развитии конструктивного направления в математике важную роль сыграли работы А. А. Маркова, Н. А. Шанина, П. С. Новикова. Известный советский ученый Н. А. Шанин в работе «О критике классической математики» [20; 284-298] дает конструктивистскую критику классической математики и акцентирует внимание исследователей на том, что многие теоремы классической математики не обладают удовлетворительной связью между ними и эмпирическим материалом в области естествознания.

Предшественником интуиционистской концепции существования в некотором смысле можно считать А.Пуанкаре. Рассматривая вопрос о существовании натурального ряда чисел, А.Пуанкаре высказывал взгляды, близкие к интуиционистским. Например, он считал, что о существовании чисел можно судить лишь с помощью их построения. Но для математических объектов, отличных от натуральных чисел, А.Пуанкаре считал доказательство непротиворечивости доказательством их существования. "В математике существовать может иметь только один смысл, - оно означает устранение от противоречия" [18; 124].

Представление о самостоятельном существовании математических объектов подвергалось критике не только интуиционизмом. Субъективный идеалист Дж.Беркли, чья философия сжато сформулирована в знаменитом афоризме "существовать - значит быть воспринимаемы", рьяно выступал против представления о самостоятельном существовании математических объектов. В своем памфлете "Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику…" Дж.Беркли отрицал существование бесконечно малых величин на том основании, что они чувственно не воспринимаемы. [1; 395]

Б.Рассел начал свою философскую деятельность с идеализма типа Дж.Беркли, но затем изменил свою концепцию под влиянием Д.Мура, который подверг критике философию Дж.Беркли и сформулировал принцип нетождественности объекта восприятию. В своем труде «Принципы математики» Б.Рассел переходит на позиции реализма и высказывает мысль, что нельзя обосновать математику, не признавая математические объекты, существующими независимо от сознания. [16; 87]

Абстрактные объекты не существуют в качестве самостоятельного объекта, стоящего между субъектом и реальным объектом, ибо они являются лишь формами выражения действительности. Сама же действительность выступает не как совокупность единичных фактов, созерцая которые, субъект выделяет то общее, что есть в них, а как сложная, расчлененная внутри себя целостность. Неверно превращать математические средства выражения предмета математики в сам предмет. Абстрактные объекты являются не объектами познания, а тем, что должно быть в голове человека, чтобы можно было в реальной действительности увидеть те или иные аспекты количественных отношений.

Представления, что математика имеет дело с реальной действительностью только через посредство абстрактных объектов, которые понимаются как существующие лишь во внутреннем мире субъекта, замыкает математика в рамки уже идеализированных фрагментов действительности и не может объяснить факта увеличения математического знания. Математическое познание имеет дело не с абстрактными объектами, а с пространственными формами и количественными отношениями действительности. Манипулирование абстрактными объектами в отрыве от объективной реальности не может привести к новым результатам. Абстрактные объекты сами по себе – застывший продукт познания и только обращение к новым аспектам действительности приводит к обогащению математического знания. Все это прекрасно понимал и выразил еще Р.Декарт. В «Правилах для руководства ума» он писал, что «мысля о числе, не нужно делать вывод, будто измеряемая вещь считается исключенной из нашего представления, как это делают те, кто приписывает числам чудесные свойства…». [7; 149]

В этом случае мы сможем по мере надобности обращаться и к другим свойствам предмета, которые еще не выражены в числах. Тот, кто превращает математические средства выражения предмета математики в сам предмет, превращается , по словам Р.Декарта, из математика в счетчика, бессмысленно оперирующего со знаками и символами, загораживающими непроницаемой реальный предмет математики.

А.Гейтинг замечает, что «мы не могли бы сравнивать натуральные числа друг с другом, если бы не фиксировали их какими-либо средствами материального представления, почему они и продолжают существовать после акта их построения» [6; 24].

Абстрактные объекты и есть формы, отлитые предшествующей деятельностью человека в обществе. С точки же зрения каждого отдельного индивида они выступают как независимо от него существующая реальность, а это значит, что человек должен считаться с их природой как и с природой реально существующих вещей. Только в этом смысле и можно говорить об особом существовании абстрактных объектов.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License