25. Проблема истинности в математическом познании: очевидность и непротиворечивость

Своеобразие критерия истины в математике выражается и в том, что, как правило, в качестве такого критерия выступает теория арифметики натуральных чисел, истины которых являются незыблемыми для каждого математика. Впрочем, в какой-то мере это относится ко всем наукам, если иметь ввиду наличие в философии (как мировоззренческой и методологической основе науки) принципиальных положений, с которыми должны согласовываться все выдвигаемые гипотезы.

Необходимо заметить, что использование в качестве непосредственного критерия истины арифметики натуральных чисел означает, что этот критерий органически связан с двумя другими требованиями – точностью и непротиворечивостью. Удовлетворение этим двум критериям – тоже необходимое условие истинности математических построений.

Витгенштейн: доказательства непротиворечивости являются бессмысленными, поскольку не дают никакой гарантии против противоречий, возникновение которых связано с применением теоретических средств, а вовсе не со структурой или строением теории. В силу того, что избежать нежелательного употребления теоретических средств в принципе невозможно, любые основания математики будут ненадежными.
Оценка современного состояния проблемы обоснования М резюмирована монографии Е.Беляева и В.Перминова: “Общей концепции, которая бы позволила ответить на все философские вопросы, возникающие в связи с проблемой обоснования математики в XX веке, пока не существует”. Ряд положений:
“1. Основное требование к М и цель ее обоснования — ее непротиворечивость. Обоснование М состоит в устранении существующих противоречий и в выработке средств анализа, предупреждающих появление таких противоречий в будущем.
2. Единая программа обоснования математики типа гильбертовской или расселовской в настоящее время уже невозможна.
3. Невозможна единая теор база обоснования М, т.е. невозможно обосновать М сведением всех ее положений к 1му ее разделу. Ни логика, ни арифметика не могут выступать в качестве такой последней основы.
4. Обоснование математики не временный, но пост процесс, необходимая сторона развития мат знания в целом.

Тезис логицизма: математические объекты могут вводиться только на основании тезиса о непротиворечивости, т.е. математический объект может быть признан существующим, если он мыслим непротиворечивым образом.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License